1.有了Fourier，为什么还需求Wavelet?
先来揭揭短：
(1)Fourier剖析不能描写时刻域上信号的部分特性。
(2)Fourier剖析对骤变和非平稳信号的作用欠好，没有时频剖析。
傅立叶改换将函数投影到正弦波上，将函数分化成了不同频率的正弦波，这不能不说是一个巨大的发现，可是在许多的使用中，傅立叶改换的局限性却日趋显着，事实上在润滑平稳信号的表明中，傅立叶基现已达到了近似最优表明，可是日常日子中的信号却并不是一向润滑的，并且奇特是普通的，傅立叶在奇特点的体现就着实让人不爽，从方波的傅立叶迫临就能够看出来，用了许多不同频率的三角波去迫临其系数衰减程度适当缓慢，并且会产生Gibbs效应。其内涵的原因是其基为大局性基，没有部分优化才能，以致部分一个小小的摇摆也会影响大局的系数。实践使用中很需求时频部分化，傅立叶显着缺少此才能了。即便如此，由于其显着的物理含义和快速核算，在许多场合依然使用广泛。傅立叶改换在从接连到离散的景象是值得学习与学习的，咱们都知道，时刻周期对应频域离散，时刻离散对应频域周期，时刻离散周期对应频域离散周期，DFT其实是将离散信号做周期延拓然后做傅立叶改换再截取一个周期，反改换相同如此，所以DFT用的是块基的概念，这样假如信号两头的信号衔接后不再润滑(即便两头都润滑)，相同会在鸿沟上产生大幅值系数(鸿沟效应)，延伸到图画中便是块效应。当对信号做对称周期延拓后再做傅立叶改换得到的正弦系数悉数为0，也便是任何对称函数能够写成余弦的线性组合，相同依照离散的思路结构得到的是离散块余弦基，即DCT改换，尽管DCT能够经过对称后周期延拓再改换减少了鸿沟效应(两头信号接上了，但不必定滑润)，但也不能消除块效应，尤其是图画改换中人为将图画分红8*8处理后块效应愈加显着。可是DCT很好的能量集合效应让人惊讶，加之快速核算办法使它代替DFT成为图画的紧缩的规范了很长时刻(JPEG)。
闲扯了这么多，不要模糊，开端上图：
第一个便是傅立叶改换是整个时域，所以没有部分特征。这是由基函数决议的，一起假如在时域产生骤变，那么在频域就需求许多的正弦波去拟合，这也是傅立叶改换性质决议的。
第二个便是面临非平稳信号，傅立叶改换能够看到由哪些频率组成，但不知道各成分对应的时刻是什么。也便是没有时频剖析，看不出来信号频域跟着时刻改换的状况，反过来说便是，一个的频图对应好几个时域图，不知道是哪个，这个在实践使用中就不方便了，如图：
如上图，最上边的是频率始终不变的平稳信号。而下边两个则是频率跟着时刻改动的非平稳信号，它们相同包括和最上信号相同频率的四个成分。做FFT后，咱们发现这三个时域上有巨大差异的信号，频谱(幅值谱)却十分共同。尤其是下边两个非平稳信号，咱们从频谱上无法区别它们，由于它们包括的四个频率的信号的成分确实是相同的，仅仅呈现的先后顺序不同(时刻分辩性太差)。
可见，傅里叶改换处理非平稳信号有天然生成缺陷。它只能获取一段信号总体上包括哪些频率的成分，可是对各成分呈现的时刻并无所知。因而时域相差很大的两个信号，或许频谱图相同。
可是平稳信号大多是人为制造出来的，自然界的许多信号简直都对错平稳的，所以在比方生物医学信号剖析等范畴的论文中，底子看不到单纯傅里叶改换这样naive的办法。
上图所示的是一个正常人的心电相关电位。关于这样的非平稳信号，只知道包括哪些频率成分是不行的，咱们还想知道各个成分呈现的时刻。知道信号频率随时刻改动的状况，各个时刻的瞬时频率及其幅值——时频联合剖析
2.准备常识：何为基?何为內积?
2.1 基
傅立叶改换和小波改换，都会听到分化和重构，其间这个便是底子，由于他们的改动都是将信号当作由若干个东西组成的，并且这些东西能够处理还原成比本来更好的信号。那怎样分化呢?那就需求一个分化的量，也便是常说的基，基的了解能够类比向量，向量空间的一个向量能够分化在x，y方向，一起在各个方向界说单位向量e1、e2，这样恣意一个向量都能够表明为a=xe1+ye2，这个是二维空间的基：
而FT的基是不同频率的正弦曲线(整个时刻)，所以FT是把信号波分化成不同频率的正弦波的叠加和：而关于小波改换便是把一个信号分化成一系列的小波(短时刻)，或许就会问，小波改换的小波是什么啊，界说中便是告知咱们小波，由于这个小波实在是太多，一个是品种多，还有便是同一种小波还能够标准改换，可是小波在整个时刻规模的起伏平均值是0，具有有限的持续时刻和骤变的频率和振幅，能够是不规则，也能够是不对称,很显着正弦波就不是小波，什么的是呢，看下面几个图便是：
有了基，有什么用呢?下面看一个傅立叶改换的实例：
关于一个信号的表达式为x=sin(2*pi*t)+0.5*sin(2*pi*5*t); 下面看图形表明，感受一下频域改换给人的一望而知：
基具有非冗余性，即便基不是正交的，有相关性，但若去掉其间任何一个，则不成为基，这一点也叫齐备性;基的表明有仅有性，即给定一族基对一个函数的表达是仅有的;一般状况下基非正交，也称为为exact frame(Resize basis)，这个时分要表明信号能够将基正交化成仅有的正交基(对偶为其本身);也能够求其对偶结构(dual frame)，其对应了小波改换中的双正交景象!信号能够依结构分化，然后用对偶结构重构。若在基集里增加一些新的向量，并随意调整空间方位，则有或许成为结构。把函数与基或结构作内积，也能够说成是一种函数空间到系数空间的改换。若某种改换后的能量(内积的平方和衡量)依然有一个大于0的上下界，才能够成为结构，由于结构的冗余性，所以系数的表达也不具有仅有性。若上下界持平，则为紧结构，且界表明冗余度。若上下界持平为且为1，称为pasval identity frame，此刻不必定为正交基，此刻若加上基的长度均为一的条件，则结构退化为正交基。或许你会问咱们用基来表明信号就行了啊，为什么还要结构呢?其实许多信号表明办法不能构成基，却能构成结构，如短时傅立叶改换中如要求窗函数满意基条件，则可推出该函数有很差的时频部分化性质(事实上退化为了傅立叶改换)
2.2 內积
假如两个向量的内积为0 ，就说他们是正交的。
假如一个向量序列彼此对偶正交，并且长度都为1，那么就说他们是正交归一化的。
3.小波诞生的前一个晚上：短时傅里叶改换(STFT)
有了缺陷当然就想着改进了，这就出来了短时傅立叶改换，也叫加窗傅立叶改换，望文生义，便是由于傅立叶改换的时域太长了，所以要弄短一点，这样就有了部分性。
界说：把整个时域进程分化成无数个等长的小进程，每个小进程近似平稳，再傅里叶改换，就知道在哪个时刻点上呈现了什么频率了。”这便是短时傅里叶改换。下面便是示意图
时域上分红一段一段做FFT，不就知道频率成分跟着时刻的改动状况了吗!
或许了解这一点最好的办法是举比如。首要，由于咱们的改换是对时刻和频率的函数(不像傅立叶改换，仅仅是对频率的函数)，它是二维的(假如加上起伏则是三维)。以下图所示的非平稳信号为例：
在这个信号中，在纷歧起刻有四个频率重量。0-250ms内信号的频率为100Hz，其他每个250ms的距离的信号频率分别为50Hz，25Hz和10Hz。很显着，这是一个非平稳信号，让咱们看一看它的短时傅立叶改换：用这样的办法，能够得到一个信号的时频图了：
既能看到10Hz, 25 Hz, 50 Hz, 100 Hz四个频域成分，还能看到呈现的时刻。两排峰是对称的，只用看一排就行。这形似处理了问题，如同有了加窗技能，整个国际都亮了。没有那么简略的，面临一个随机的非平稳信号，那么这个窗要多大了呢?(此刻加窗傅里叶改换一脸的懵逼)
窗太窄，窗内的信号太短，会导致频率剖析不行精准，频率分辩率差。
窗太宽，时域上又不行精密，时刻分辩率低。
下面经过一组试验，咱们深化探究这种加窗技能，问题呈现在哪里?
上图对同一个信号(4个频率成分)选用不同宽度的窗做STFT，成果如右图。用窄窗，时频图在时刻轴上分辩率很高，几个峰底子成矩形，而用宽窗则变成了连绵的矮山。可是频率轴上，窄窗显着不如下边两个宽窗准确。所以窄窗口时刻分辩率高、频率分辩率低，宽窗口时刻分辩率低、频率分辩率高。关于时变的非稳态信号，高频合适小窗口，低频合适大窗口。可是STFT的窗口是固定的，在一次STFT中宽度不会改动，所以STFT仍是无法满意非稳态信号改动的频率的需求。
4.小波来了
时势造英雄，小波开端一展拳脚了!
关于加窗傅立叶改换让人头疼的便是窗口的巨细问题，假如咱们让窗口的巨细能够改动，不就完美了吗?答案是必定的，小波便是根据这个思路，可是不同的是。STFT是给信号加窗，分段做FFT;而小波改换并没有选用窗的思维，更没有做傅里叶改换。小波直接把傅里叶改换的基给换了——将无限长的三角函数基换成了有限长的会衰减的小波基。这样不只能够获取频率，还能够定位到时刻了~
就又回到了最开端的基了。
小波改换选用的这些基函数会弹性、会平移(其实是两个正交基的分化)。缩得窄，对应高频;伸得宽，对应低频。然后这个基函数不断和信号做相乘。某一个标准(宽窄)下乘出来的成果，就能够了解成信号所包括的当时标准对应频率成分有多少。所以，基函数会在某些标准下，与信号相乘得到一个很大的值，由于此刻二者有一种重合联系。那么咱们就知道信号包括该频率的成分的多少。如前文所述，小波做的改动就在于，将无限长的正弦函数基换成了有限长的会衰减的小波基。作用如下图：
从公式能够看出，不同于傅里叶改换，变量只要频率ω，小波改换有两个变量：标准a(scale)和平移量 τ(translation)。标准a操控小波函数的弹性，平移量 τ操控小波函数的平移。标准就对应于频率(反比)，平移量 τ就对应于时刻。如下图
当弹性、平移到这么一种重合状况时，也会相乘得到一个大的值。这时分和傅里叶改换不同的是，这不只能够知道信号有这样频率的成分，并且知道它在时域上存在的具体方位。而当咱们在每个标准下都平移着和信号乘过一遍后，咱们就知道信号在每个方位都包括哪些频率成分。看到了吗?有了小波，咱们从此再也不惧怕非安稳信号啦!从此能够做时频剖析啦!
3.1处理了部分性
3.2处理时频剖析
时域信号 FFT改换 小波剖析
有了这些，小波剖析也就入门了。
感谢大连理工大学机械工程硕士小木匠的超卓作业。
感谢杜克大学方圆之中对STFT的现状所做的科普作业。
