1.4.5 卷积定理及其证明
卷积定理是傅立叶改换满意的一个重要性质。卷积定理指出，函数卷积的傅立叶改换是函数傅立叶改换的乘积。换言之，一个域中的卷积对应于另一个域中的乘积，例如，时域中的卷积对应于频域中的乘积。
这一定理对拉普拉斯改换、Z改换等各种傅立叶改换的变体相同建立。需求留意的是，以上写法只对特定方法的改换正确，由于改换或许由其它方法正规化，然后使得上面的关系式中呈现其它的常数因子。
下面咱们来证明时域卷积定理，频域卷积定理的证明与此相似，读者能够自行证明。
证明：将卷积的界说
傅立叶改换的效果在频域对信号进行剖析，咱们能够把时域的信号看做是若干正弦波的线性叠加，傅立叶改换的效果正是求得这些信号的幅值和相位。已然固定的时域信号是若干固定正弦信号的叠加，在不改动幅值的情况下，在时间轴上移动信号，也就相当于一起移动若干正弦信号，这些正弦信号的相位改动、但幅值不变，反映在频域上便是傅立叶改换成果的模不变、而相位改动。所以，时移性质其实就标明当一个信号沿时间轴平移后，各频率成份的巨细不发生改动，但相位发生变化。
已然这儿提到了傅立叶改换的性质，这儿咱们还将弥补一些关于帕塞瓦尔定理的有关内容。该定理最早是由法国数学家帕塞瓦尔(Marc-Antoine Parseval)在1799年推导出的一个关于级数的理论，该定理随后被应用于傅立叶级数。帕塞瓦尔定理的表述是这样的：
综上所述，原定论得证。
前面咱们也介绍过复数方法的傅立叶级数，下面咱们来推导与复数方法傅立叶改换相对应的帕塞瓦尔等式。这儿再次给出傅立叶级数的复数方法表达式，详细推导进程请读者参看前文
帕塞瓦尔定理把一个信号的能量或功率的核算和频谱函数或频谱联系起来了，它标明一个信号所含有的能量(功率)恒等于此信号在齐备正交函数会集各重量能量(功率)之和。换言之，能量信号的总能量等于各个频率重量独自奉献出来的能量的接连和;而周期性功率信号的平均功率等于各个频率重量独自奉献出来的功率之和。
