FFT是离散傅立叶改换的快速算法，可以将一个信号改换
到频域。有些信号在时域上是很难看出什么特征的，可是如
果改换到频域之后，就很简单看出特征了。这便是许多信号
剖析选用FFT改换的原因。别的，FFT可以将一个信号的频谱
提取出来，这在频谱剖析方面也是经常用的。
尽管许多人都知道FFT是什么，可以用来做什么，怎样去
做，可是却不知道FFT之后的成果是什意思、怎么决议要运用
多少点来做FFT。
现在圈圈就依据实践经历来说说FFT成果的详细物理含义。
一个模拟信号，通过ADC采样之后，就变成了数字信号。采样
定理告知咱们，采样频率要大于信号频率的两倍，这些我就
不在此罗嗦了。
采样得到的数字信号，就可以做FFT改换了。N个采样点，
通过FFT之后，就可以得到N个点的FFT成果。为了便利进行FFT
运算，一般N取2的整数次方。
假定采样频率为Fs，信号频率F，采样点数为N。那么FFT
之后成果便是一个为N点的复数。每一个点就对应着一个频率
点。这个点的模值，便是该频率值下的起伏特性。详细跟原始
信号的起伏有什么联系呢？假定原始信号的峰值为A，那么FFT
的成果的每个点（除了第一个点直流重量之外）的模值便是A
的N/2倍。而第一个点便是直流重量，它的模值便是直流重量
的N倍。而每个点的相位呢，便是在该频率下的信号的相位。
第一个点表明直流重量（即0Hz），而最终一个点N的再下一个
点（实践上这个点是不存在的，这里是假定的第N+1个点，也
可以看做是将第一个点分做两半分，另一半移到最终）则表明
采样频率Fs，这中心被N-1个点均匀分红N等份，每个点的频率
顺次添加。例如某点n所表明的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N。
由上面的公式可以看出，Fn所能分辩到频率为为Fs/N，假如
采样频率Fs为1024Hz，采样点数为1024点，则可以分辩到1Hz。
1024Hz的采样率采样1024点，刚好是1秒，也便是说，采样1秒
时间的信号并做FFT，则成果可以剖析到1Hz，假如采样2秒时
间的信号并做FFT，则成果可以剖析到0.5Hz。假如要进步频率
分辩力，则有必要添加采样点数，也即采样时间。频率分辩率和
采样时间是倒数联系。
假定FFT之后某点n用复数a+bi表明，那么这个复数的模便是
An=根号a*a+b*b，相位便是Pn=atan2(b,a)。依据以上的成果，
就可以核算出n点（n≠1，且n<=N/2）对应的信号的表达式为：
An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn)，即2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。
关于n=1点的信号，是直流重量，起伏即为A1/N。
因为FFT成果的对称性，一般咱们只运用前半部分的成果，
即小于采样频率一半的成果。
好了，说了半天，看着公式也晕，下面圈圈以一个实践的
信号来做阐明。
假定咱们有一个信号，它含有2V的直流重量，频率为50Hz、
相位为-30度、起伏为3V的沟通信号，以及一个频率为75Hz、
相位为90度、起伏为1.5V的沟通信号。用数学表达式便是如下：
S=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)
式中cos参数为弧度，所以-30度和90度要别离换算成弧度。
咱们以256Hz的采样率对这个信号进行采样，一共采样256点。
依照咱们上面的剖析，Fn=(n-1)*Fs/N，咱们可以知道，每两个
点之间的距离便是1Hz，第n个点的频率便是n-1。咱们的信号
有3个频率：0Hz、50Hz、75Hz，应该别离在第1个点、第51个点、
第76个点上呈现峰值，其它各点应该挨近0。实践情况怎么呢？
咱们来看看FFT的成果的模值如图所示。
图1 FFT成果
从图中咱们可以看到，在第1点、第51点、和第76点邻近有
比较大的值。咱们别离将这三个点邻近的数据拿上来细看：
1点： 512+0i
2点： -2.6195E-14 – 1.4162E-13i
3点： -2.8586E-14 – 1.1898E-13i
50点：-6.2076E-13 – 2.1713E-12i
51点：332.55 – 192i
52点：-1.6707E-12 – 1.5241E-12i
75点：-2.2199E-13 -1.0076E-12i
76点：3.4315E-12 + 192i
77点：-3.0263E-14 +7.5609E-13i
很明显，1点、51点、76点的值都比较大，它邻近的点值
都很小，可以认为是0，即在那些频率点上的信号起伏为0。
接着，咱们来核算各点的起伏值。别离核算这三个点的模值，
成果如下：
1点： 512
51点：384
76点：192
依照公式，可以核算出直流重量为：512/N=512/256=2；
50Hz信号的起伏为：384/(N/2)=384/(256/2)=3；75Hz信号的
起伏为192/(N/2)=192/(256/2)=1.5。可见，从频谱剖析出来
的起伏是正确的。
然后再来核算相位信息。直流信号没有相位可言，不必管
它。先核算50Hz信号的相位，atan2(-192, 332.55)=-0.5236,
成果是弧度，换算为视点便是180*(-0.5236)/pi=-30.0001。再
核算75Hz信号的相位，atan2(192, 3.4315E-12)=1.5708弧度，
换算成视点便是180*1.5708/pi=90.0002。可见，相位也是对的。
依据FFT成果以及上面的剖析核算，咱们就可以写出信号的表达
式了，它便是咱们开端供给的信号。
总结：假定采样频率为Fs，采样点数为N，做FFT之后，某
一点n（n从1开端）表明的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N；该点的模值
除以N/2便是对应该频率下的信号的起伏（关于直流信号是除以
N）；该点的相位便是对应该频率下的信号的相位。相位的核算
可用函数atan2(b,a)核算。atan2(b,a)是求坐标为(a,b)点的角
度值，规模从-pi到pi。要准确到xHz，则需求采样长度为1/x秒
的信号，并做FFT。要进步频率分辩率，就需求添加采样点数，
这在一些实践的运用中是不现实的，需求在较短的时间内完结
剖析。处理这个问题的办法有频率细分法，比较简单的办法是
采样比较短时间的信号，然后在后面弥补必定数量的0，使其长度
到达需求的点数，再做FFT，这在必定程度上可以进步频率分辩力。
详细的频率细分法可参阅相关文献。
[附录：本测试数据运用的matlab程序]
close all; %先封闭一切图片
Adc=2; %直流重量起伏
A1=3; %频率F1信号的起伏
A2=1.5; %频率F2信号的起伏
F1=50; %信号1频率(Hz)
F2=75; %信号2频率(Hz)
Fs=256; %采样频率(Hz)
P1=-30; %信号1相位(度)
P2=90; %信号相位(度)
N=256; %采样点数
t=[0:1/Fs:N/Fs]; %采样时间
%信号
S=Adc+A1*cos(2*pi*F1*t+pi*P1/180)+A2*cos(2*pi*F2*t+pi*P2/180);
%显现原始信号
plot(S);
title(原始信号);
figure;
Y = fft(S,N); %做FFT改换
Ayy = (abs(Y)); %取模
plot(Ayy(1:N)); %显现原始的FFT模值成果
title(FFT 模值);
figure;
Ayy=Ayy/(N/2); %换算成实践的起伏
Ayy(1)=Ayy(1)/2;
F=([1:N]-1)*Fs/N; %换算成实践的频率值
plot(F(1:N/2),Ayy(1:N/2)); %显现换算后的FFT模值成果
title(起伏-频率曲线图);
figure;
Pyy=[1:N/2];
for i=1:N/2
Pyy(i)=phase(Y(i)); %核算相位
Pyy(i)=Pyy(i)*180/pi; %换算为视点
end;
plot(F(1:N/2),Pyy(1:N/2)); %显现相位图
原文 地址：http://computer00.21ic.org/user1/2198/archives/2008/48202.html
