在信号剖析与处理中，频谱剖析是重要的东西。FFT（Fast Fourier Transform，快速傅立叶改换）能够将时域信号转化至频域，以取得信号的频率结构、起伏、相位等信息。该算法有理工科课程中都有介绍，很多的仪器或软件亦集成此功用。FFT有用且高效，相关原理与运用注意事项也值得好好学习。
一、何为FFT
关于模仿信号的频谱剖析，首先得运用ADC（模仿数字转化器）进行采样，转化为有限序列
，其非零值长度为N，经DFT（离散傅立叶改换）即可转化为频域。DFT改换式为：
在上式中，N点序列的DFT需求进行N2次复数乘法和
次复数加法，运算量大。FFT是DFT的快速算法，运用DFT运算中的对称性与周期性，将长序列DFT分解为短序列DFT之和。终究运算量显着削减，使得FFT运用愈加广泛。
FFT根据一个基本理论：任何接连的波形，都能够分解为不同频率的正弦波形的叠加。FFT将采样得到的原始信号，转化此信号所包括的正弦波信号的频率、起伏、相位，为信号剖析供给一个立异视觉。
例如在日常日子中有运用到的AM（Amplitude Modulation，起伏调制）播送，其原理是将人的声响（频率约20Hz至20kHz，称为调制波）调制到500kHz～1500kHz正弦波上（称为载波）中 ，载波的起伏随调制波的起伏改变。声响经这样调制后，能够传播得更远。在AM的时域波形（波形电压随时刻的改变曲线），载波与调制波特征不易表现，而在FFT后的幅频曲线中则一望而知。如下图为1000kHz载波、10kHz调制波的AM调制信号，时域信号经FFT后其频率能量出现在990kHz、1.01MHz频率处，契合理论核算。
图 1 调制波10kHz、载波1000kHz的AM时域与频域曲线
二、FFT相关常识
现实日子中的模仿信号，大多都是接连杂乱的，其频谱重量十分丰厚。正如在数学中常量π，其实在值是个无理数。当用3.14来代替π时，核算值与实在值就会有差错。在运用FFT这个东西时，受限于采样时的频率Fs、采样点长度N、ADC的分辨率nbit等要素的限制，所得到的信息会有所缺失与混杂。
1.奈奎斯特区与波形混叠
FFT剖析成果中，存在一个那奈奎斯特区的概念，其宽度为采样率的一半Fs/2，信号频谱被分红一个个相连的奈奎斯特区。日常信号剖析中，大多关怀的是1st奈奎斯特区的信号，即DC到Fs/2的频段。FFT所得到的信号频率信息，也是在1st奈奎斯特区内。其他高奈奎斯特区频段的信号，会以不同的方法混叠到1st奈奎斯特区：
偶数奈奎斯特区会镜像后混叠到1st奈奎斯特区；
奇数奈奎斯特区会频移后混叠到1st奈奎斯特区。
如下图所示，假设原有模仿信号频谱段较宽，信号频段的最大频率大于采样率Fs。在采样率Fs下，信号频谱的A、B、C三部分区域，别离坐落1st、2st、3st奈奎斯特区。那经FFT后：
A部分信号原本就在1st奈奎斯特区，坚持不变；
B部分频谱会以Fs/2为镜像后混叠到1st奈奎斯特区；
C部分频谱频偏Fs后混叠到1st奈奎斯特区。
这样在FFT的剖析成果中，1st奈奎斯特区就会重叠了A、B、C三部分区域的信号。其他奈奎斯特区频率信号搅扰到需剖析的信号，就会形成常说的波形混叠问题。
就单个频率信号而言，若原始信号的频率为|±KFs ±Fin|(K为天然数)，则通过FFT剖析后，信号会落入在1st奈奎斯特区的Fin频率处。
图 2 奈奎斯特区投影与波形混叠
这在时域上了解不难：在常用设备示波器的采样率设为100MSa/s，这时输入10MHz、90MHz、110MHz频率的信号，采样得到的波形是相同的，都为10MHz。此刻奈奎斯特区宽度为50MHz，信号90MHz坐落2st奈奎斯特区，经Fs/s镜像后，为10MHz；信号110MHz坐落3st奈奎斯特区，经频偏Fs后，亦为10MHz。在FFT后的数据中，这三个频率信号的频点都落在1st奈奎斯特区的10MHz处。
图 3 波形混叠时的时域芯片
为了处理信号混叠问题，能够采纳以下办法：
进步模数转化器ADC的采样率Fs
这适当把1st奈奎斯特区拉宽。当满意Fs/2大于信号频段的最大频率Fin_max时，天然不会现混叠。这是采样定理的简略实践。
在模数转化器前串入抗混叠滤波器
抗混叠滤波器最常见的是低通滤波器，此滤波器能够将高于Fs/2的高阶奈奎斯特区频段信号衰减掉，只保留下丈量1st奈奎斯特区频段的信号。
2.FFT数据的物理含义
长度为N的有限序列
，经FFT后得会到N个复数，完成了时域到频域的涅磐。原始信号包括的各种正弦信号，会转化成对应方位的复数：
第一个复数，代表信号的直流重量。此复数的模值，为直流重量的N倍。
第二至第N/2个复数，代表着均匀频率距离信号的特征。此复数的模，为此频率信号起伏的N/2倍；此复数的视点，为此频率信号的相位。一个奈奎斯特区包括N/2个频率点，频率点的距离称为频率分辨率：
对上式稍作改换：频率分辨率的倒数，为可剖析信号的周期：
NTS即采样时刻，可见FFT的频率分辨率，与其他参数无关，只与采样时刻长度有关。
第N/2+1至第N个复数，从上文的奈奎斯特区可知，是1st奈奎斯特区的镜像，能够疏忽。
1.频谱走漏与窗函数
在运用FFT对ADC的动态功用评价中，为了削减不相关要素对动态功用的影响，测验中一般要求给ADC低噪电源、低噪时钟，待测信号起伏尽量挨近且略低于ADC的输入量程，而待测信号的频率Fin也有要求：
为啥频率要这样要求？将上式中的频率转化为周期就很好了解：
TS*N即为采样时刻，采样时刻刚好包括了n个整周期的待测信号。这样选取输入信号频率的原因，是FFT剖析中默许收集到的数据，是原始接连波形中的一段周期波形。已然波形是接连的，那波形必定首尾相连的、开始点电压值等于结尾处电压值的。
若采样到的数据不是接连的，则适当数据在首尾处有一个电压骤变，电压骤变在频域上就代表着很高的频率重量。这些高频的频率重量混叠到1st奈奎斯特区时，就会对原有信号的频谱形成搅扰，这也叫频谱走漏。
在实践的信号剖析中，待测信号的频率是很难事前设定的，这就简略会形成频谱走漏。为了减轻这个影响，FFT加入了窗函数这个概念。窗函数，其实是一个加权系数，将不同方位的采样点，别离乘以不同的系数。通过加权相乘后，采样点就变成首尾相连的接连波形了。不同的窗函数，其加权曲线不相同，形成的影响就有所差异。举例hann窗的系数界说如下：
其N=64系数曲线与频谱如下：
图 4 N=64 hann窗系数曲线与频谱曲线
图 5 叠加窗前后的信号波形
1.频谱图目标界说
将FFT得到的各个频率点起伏，绘制成随频率改变的曲线，能够得到信号的频谱图。在原厂ADC的器材手册或功用评价计划中，会有与功用相关目标的界说。在很多目标中，以下几个尤为重要：
信噪比SNR
信号均方根幅值与除前六个谐波与直流重量之外的一切频率重量均方根和之比。在只考虑ADC的量化差错时，SNR只与ADC的位数相关。
信纳比SINAD
信号均方根振幅与出直流重量之外的一切频谱重量均方根和之比。SINAD与SNR之间的差异只要前六个谐波重量所含的能量。
总谐波失真THD
信号均方根与前六个谐波之和的均方根值之比。谐波的发生是因为信号通过了非线性环节，导致信号发生畸变。
无杂散动态规模SFDR
信号均方根与最大杂散频谱重量均方根值之比。SFDR能够表征信号剖析的动态规模。
有效位数ENOB
ENOB反映了信号与正弦波的拟合程度。在FFT中能够运用公式核算：ENOB =（SINAD-1.76）/6.02。这公式是与根据ADC只要量化差错时的核算模型，详细的推论能够参阅ADI的运用文档MT-001《Taking the Mystery out of the Infamous Formula,"SNR = 6.02N + 1.76dB," and Why You Should Care》。
图 6 ZDS4054 Plus FFT功用剖析界面
ZDS4000 FFT剖析功用能够主动核算总谐波失真THD、信噪比SNR，显现前10次高功率信号频率。
FFT是简洁而高效的剖析东西，在很多的软件中都已很好的集成。在网络上简略查找一下例程，在Matlab软件中简略敲入fft()，即可做信号剖析。而ZLG建功科技-致远电子的高功用数据发掘性示波器，FFT剖析的样本数可达4Mpts，这使得示波器能够在最高采样率下，采样更长时刻的波形。这样在FFT后，数据的奈奎斯特区就适当宽，而频率分辨率又适当窄，十分适用信号剖析与噪声定位。
