2.3 核算机完成的理论研讨
在程序中，滤波反投影算法的进程为：
投影数据收集
对投影数据做FFT改换
滤波
反投影数据
逆FFT改换
等式(2.8)不能以它现有方式直接完成，只需考虑公式(2.10)的解说，就很简略了解这一点。依据傅里叶改换的特性，咱们知道在傅里叶域中两个函数相乘等价于两个相应空间域函数的卷积。 
在空间域中的对应函数是被测平行投影 
。对应滤波函数 
的空间范畴(或冲激响应) 
，便是该函数的傅里叶反改换，
(2.12)
并不存在。有必要研讨一个替代办法。一个这样的办法是把有限带宽函数引进公式中。例如在上式中设置t=0，让咱们考虑 
的值。 
代表在曲线 
下面的面积。当 
。因而，等式(2.8)不能以它现有方式完成。有必要研讨一个替代办法。一个这样的办法是把有限带宽函数引进公式中。
假定投影的傅里叶改换是有限带宽的。换句话说，在频率距离 
以外能量为0.在这个假定下，等式(2.10)能够按下面方式标明：
(2.13)
等式(2.13)指出，要核算滤波的投影 
，只需求进行投影 
的傅里叶改换以得到 
，在 
规模内乘以 
，并进行傅里叶反改换。不幸的是，有两个要素使这个看似简略的问题变得复杂：被切断的滤波核的离散化以及环状卷积的性质。要完全了解滤波核问题，让咱们首先在空间域中推导抱负滤波核。为确保无混叠采样，投影带宽T有必要满意Nyquist(奈奎斯特)采样原则：
(2.14)
其间 
是投影采样距离(单位为 
)。在该条件下，初始的斜变函数 
实践上是与窗函数 
相乘：
(2.15)
其间
滤波函数 
在图2.1中描绘。现在，滤波器冲激响应能够描绘如下
. (2.16)
留意因为 
的 
的一个实偶函数，相应的冲激响应 
也是t的一个实偶函数。
图2.1 有限带宽斜变滤波器的频率标明
留意，投影以距离 
采样。依据卷积理论，等式(2.9)能够写为
(2.17)
其间 
是满意条件
的 
值。这儿，咱们运用被扫描物体具有有限空间紧支集这一现实。在滤波投影的离散完成时，咱们只对在 
整数倍处的滤波数值感兴趣。把 
代入等式(2.16)中，得到
(2.18)
滤波函数的冲激响应在图2.2中画出。在该图中，咱们设 
。假如用
标明在视点 
下投影的离散采样，等式(2.10)中描绘的滤波投影能够表达为一个空间域卷积：
(2.19)
图2.2 斜边滤波器的冲激响应
这儿，咱们运用了每个投影在空间上具有有限紧支集的现实。即在下标规模以外， 
为0.这意味着，要确认 
，咱们只需运用在规模 
内的 
。
虽然等式(2.19)的离散卷积完成能够直接得到被滤波的投影，当N很大时，往往在频率域中履行运算功率更高[运用快速傅里叶改换(FFT)运算]。关于现在一台典型的CT扫描机，一次独自投影的采样数N挨近1000.因而，咱们期望得到 
序列的频率域方式。在有限规模内 
的离散傅里叶改换 
与等式(2.15)描绘的 
不同，如图2.3所示。二者之间首要差别是直流成分。虽然差适当小，它对重建图画CT数准确度的影响不能疏忽。
现在咱们考虑循环卷积[9]的问题。等式(2.10)中描绘的原始滤波运算需求一个非周期性的卷积。当这个运算在频率域中履行时，只能是周期性或循环卷积。假如直接实线前面所述的运算序列，或许发生干与伪像。这便是所谓的卷绕(warp-around)效应，或许周期间干与。为了防止伪像，需求在傅里叶改换和滤波运算之前为每个投影添补满足数量的零。零的最少数目有必要等于初始投影采样数减1(即N-1)。
图2.3中所示斜变滤波器
的特性标明，相关于低频成分， 
更杰出着重高频成分。现实上，斜变滤波器体现有些如同微分运算符。因而，能够把滤波运算幻想为一个反卷积进程，去掉了反投影发生的含糊。 
函数(实线)和有限带宽斜变滤波器傅里叶改换(虚线)的比较在等式(2.15)中，咱们采用了一个简略的矩形窗函数来约束滤波核。能够别的修正窗函数，以改动滤波器的频率响应。实践使用中，窗函数经常被作为一个东西，用来修正重建图画的噪声特性，以完成空间分辨率和图画噪声之间的折中。
在许多用于数值核算和图画的高档言语软件体系中，如Matlab(The MathWorks,Natick,MA)或IDL(Research Systems,Inc,Boulder,CO),矢量或矩阵能够直接标明成变量。还能够针对矢量界说不同运算符。在这样的环境中，平行反投影的完成变得适当简略。关于每个被测投影(在数据预处理或预调度后)，投影被添补满足多的0以防止“周期间”搅扰。对补零后的投影进行傅里叶改换，而且被改换的投影乘以一个滤波函数[10]。然后，对成果进行傅里叶反改换，得到一个被滤波的投影。该投影被反投影(经过“像素驱动”或“射线驱动”)到图画矩阵。为了进步空间分辨率，滤波投影经常在反投影进程之前进行预插值。在投影数据调集中对每次投影重复整个进程。图2.4显现一个流程图，描绘了关于平行束投影[11]的重建进程。
