无论是学习信号处理，仍是做图画、音视频处理方面的研讨，你永远避不开的一个内容，便是傅里叶变换和小波。可是这两个东西其实并不简单弄懂，或许说其实是十分笼统和不流畅的!
彻底搞懂傅里叶变换和小波，你至少需求知道哪些准备常识?主页君从今日开端就将经过一些列文章告知你他们之间的来龙去脉!本节是悉数系列文章的第一节——总纲，日后咱们也将依照这个思路一点一点叙述一切的常识。需求阐明的是，本文首要面向核算机专业或许电子信息专业的读者，为此咱们将尽量采纳一些十分十分根底的常识来协助你了解。所以，标题里边讲的“彻底搞懂”并非是从物理学或许纯数学的视点去讲的，由于傅里叶变换开端是法国科学家傅里叶在研讨物理学(首要是热力学)时发明出来的一套理论，假如要从这个视点去说“彻底搞懂”，必定得需求许多物理常识、复变实变剖析，之类的像天书相同的东西。这样牵扯下去，其实许多关于学核算机或许学电子信息的人来说，其实彻底没有必要。咱们要做的，便是使用你现已把握的常识来构建整个系统!
金庸在他的武侠小说《天龙八部》里刻画了一个吐蕃国师的人物形象——“鸠摩智”。鸠摩智练武急于求成，为了在短期内多炼成几门功夫，往往根底不打牢，就强行修炼上乘武学。用道家的小无相功催动少林的七十二绝技，看似威力无比，其实后患无穷。其实日常学习也是这样，假如上来就记住几个公式，然后开门见山地去啃傅里叶变换或许小波，其实也能做出点东西来，可是由于根底都是空的，所以内化的进程简直是开裂的，残缺的。无论是傅里叶变换仍是小波，它们的最基本理论悉数都是数学。仅仅大部分学生很难建立起它们之间的联络。咱们今日就从数学开端说起。
图中虚线框里的内容，都应该是在高等数学里必学的内容，这部分有啥不明白的，去问童校长应该最合适不过了。首要，你应该知道费马定理(这个很简单，说白了其实便是函数有极值的条件)，经过费马定理，你能够证明罗尔定理，然后经过罗尔定理，你又能够证明拉格朗日中值定理，经过拉格朗日中值定理，你又能够继而证明柯西中值定理。证明柯西中值定理的含义在于，它能够被用来证明泰勒公式。泰勒公式当然是一个叫做泰勒的人提出来的，可是真实证明泰勒公式的人是柯西，由于柯西知道柯西中值定理，而要证明泰勒公式就需求用到柯西中值定理。泰勒公式在咱们这儿有两个用处，首要它能够用来证明欧拉公式，欧拉公式在傅里叶变换里边也是有必要要用到的。其次，经过泰勒公式能够得到幂级数的打开。这是一个先导，由于无论是小波打开，仍是傅里叶打开，假如你了解泰勒展式或许幂级数打开式，那么对应的就很简单解说，人们规划傅里叶展式和小波展式的初衷和意图了。高数里的级数首要学两种，除了幂级数以外，别的一个便是傅里叶级数。到这儿你所需求的高数常识就现已足够了。
图中黄色框图里的内容都是你在数字信号处理课程里应该学的。咱们在学傅里叶变换之前，必定要在高数里先学一个傅里叶级数，可是傅里叶级数和傅里叶变换有啥联系呢?说白了，他们的实质是相同相同的，虽然它们各自公式的表达式如同不同还很大。经过傅里叶级数公式，其实你做一些化简和变量替换(关于这部分内容，假如读者有爱好，主页君后续能够给出详细证明进程)，傅里叶级数就变成傅里叶变换了，当然是接连的。然后你依据数字信号处理里边学的采样定理，就能处处傅里叶变换了，这便是DFT!可是DFT有个问题，假如按公式核算，功率太低，实用价值不高，后来人们就发明晰一个快速算法，FFT!这一路下来，假如每一步，你都十分清楚，那你就现已算是对傅里叶变换了解的很到位了。
然后说说小波，小波彻底能够跟傅里叶变换对比着来了解，并且事实上，在小波呈现之前，人们先发明出了一种叫短时傅里叶变换的东西，这能够被认为是二者之间的桥梁。当然，这部分内容，你不知道也没联系，你乃至能够以泰勒公式和幂级数为起点来了解小波。小波级数打开对应的是傅里叶打开，接连小波对应接连傅里叶变换，DWT对应DFT。这些都十分简单了解。相同，人们(其实首要是Mallat)也开发了一种小波的快速算法，FWT。FWT就像FFT在傅里叶变换中的位置。要了解FWT，你需求知道两个根底常识，一个叫做MRA，即多分辨率剖析，学习MRA关于了解小波也十分有含义。由于MRA是构建小波的一种办法。别的一个你有必要要知道的东西叫做“子带编码”或许子带分化。
要想了解子带分化，你就有必要知道QMF，即正交镜像滤波器，而QMF是多采样率信号处理里边的重要内容。所以你有必要有多采样率信号处理常识的根底，而多采样率信号处理的根底又是数字信号处理!别的，子带编码还有一个理论根底，或许说，子带编码为啥被证明有用，这就有必要要知道率失真理论的有关定论。率失真理论又是信息论的重要组成部分。所以，最终这条线路上，你的学习头绪应该是从信息论动身的(其实首要是互信息和率失真方面的内容)，然后才是信号处理，然后是多抽样率处理，然后是子带编码和QMF，这些你都懂了之后，FWT就太Easy了!当然，你直接就学FWT的算法，而不去管它到底是怎样来的，也是能够的，仅仅就像我之前说的，你的根底基本上都是空的，你学了也仅仅学个招式，内功心法简直不会，所以再往上走可能会遇到许多困难。
任何一门学科或许常识开展到现在少说都是几十年了，让咱们在短短个把月之内就学完，其实很不简单。所以看起来自己要知道的东西实在太多了，而学习的时刻又是这样的有限。可是也没办法，楼宇要盖的越高，地基就势必要打得越深。
别的：弥补一点，后续在详细代码实现时，咱们选用的言语C++，在Visual C++下完结。
