噪声的重要特性之一便是其频谱密度。电压噪声频谱密度是指每平方根赫兹的有用（ RMS） 噪声电压（一般单位为nV/rt-Hz）。功率谱密度的单位为W/Hz。在上一篇文章中，咱们了解到电阻的热噪声可用方程式 2.1 核算得出。该算式经过修正也可适用于频谱密度。热噪声的重要特性之一就在于频谱密度图较平整（也便是说一切频率的能量相同）。因而，热噪声有时也称作宽带噪声。运算放大器也存在宽带噪声。宽带噪声即为频谱密度图较平整的噪声。
除了宽带噪声之外，运算放大器常还有低频噪声区，该区的频谱密度图并不平整。这种噪声称作 1/f 噪声，或闪耀噪声，或低频噪声。一般说来，1/f 噪声的功率谱以 1/f 的速率下降。这便是说，电压谱会以 1/f（1/2 ） 的速率下降。不过实践上，1/f 函数的指数会略有误差。图 2.1 显现了典型运算放大器在 1/f 区及宽带区的频谱状况。请注意，频谱密度图还显现了电流噪声状况（单位为 fA/rt-Hz）。
咱们还应注意到另一点重要的状况，即 1/f 噪声还能用正态散布曲线表明，因而榜首部分中介绍的数学原理依然适用。图 2.2 显现了1/f 噪声的时域状况。请注意，本图的 X 轴单位为秒，随时刻产生较慢改变是1/f 噪声的典型特征。
图 2.2：时域所对应的 1/f 噪声及统计学剖析成果
图 2.3 描绘了运算放大器噪声的规范模型，其包含两个不相关的电流噪声源与一个电压噪声源，衔接于运算放大器的输入端。咱们可将电压噪声源视为随时刻改变的输入偏移电压重量，而电流噪声源则可视为随时刻改变的偏置电流重量。
图 2.3：运算放大器的噪声模型
运算放大器噪声剖析办法
运算放大器噪声剖析办法是依据运放数据表上的数据核算出运放电路峰峰值输出噪声。在介绍有关办法的时分，咱们所用的算式适用于最简略的运算放大器电路。就更杂乱的电路而言，这些算式也有助于咱们大致了解可预见的噪声输出状况。咱们也可针对这些更杂乱的电路供给较精确的核算公式，但其间触及的数学核算将更为杂乱。对更杂乱的电路而言，或许咱们最好应选用三步走的办法。首要，用算式进行大略的预算；然后，选用 spice 仿真程序进行更精确的预算；最终经过丈量来承认成果。
咱们将以 TI OPA277 的简略非反向放大器为例来阐明有关电路的状况（见图 2.4）。咱们的方针是测定峰峰值输出噪声。为了完成这一意图，咱们应考虑运算放大器的电流噪声、电压噪声以及电阻热噪声。咱们将依据产品阐明书中的频谱密度曲线来确认上述噪声源的巨细。此外，咱们还要考虑电路增益与带宽问题。
图 2.4：噪声剖析电路示例
首要，咱们应了解如何将噪声频谱密度曲线转化为噪声源。为了完成这一意图，咱们需进行微积分运算。简略提示一句，积分函数确认曲线下方的面积。图 2.5 显现，咱们只须将长宽相乘（即矩形区域面积），便能取得常数函数的积分。这种转化频谱密度曲线为噪声源的联系比较简略。
图 2.5：经过积分核算曲线下方面积
人们一般会说，只要将电压频谱密度曲线进行积分核算，才干得到总噪声值。事实上，咱们有必要对功率谱密度曲线进行积分核算。该曲线实践反映的是电压或电流频谱密度的平方（请记住：P = V2/R 且 P=I2R）。图 2.6 显现了对电压频谱密度曲线进行积分核算所得的古怪成果。图 2.7 显现，您可将功率谱密度进行积分核算，再经过求成果的平方根将其转化回电压。请注意，咱们由此可取得合理成果。
图 2.6：核算噪声的不正确办法
图 2.7：核算噪声的正确办法
经过对电压与电流频谱的功率谱密度曲线进行积分核算，咱们可得到运算放大器模型信号源的 RMS 起伏（图 2.3）。不过，频谱密度曲线将散布在 1/f 区与带低通滤波器的宽带区（见图 2.8）。如核算上述两个区域的总噪声，咱们要选用微积分核算推导出的算式。再依据榜首部分所评论的处理非相关信号源的办法，对上述两个核算的成果做和的平方根 （RSS） 运算，对应榜首部分中说到的非相关信号源。
首要，咱们要对带低通滤波器的宽带区域进行积分核算。抱负状况下，曲线的低通滤波器部分是一条纵向直线，咱们称之为砖墙式滤波器 （brick wall filter）。因为砖墙式滤波器状况下的曲线下方区域为矩形，因而这一区域的问题比较好处理，长乘宽即可。在实践状况下，咱们不能完成砖墙式滤波器。不过，咱们可用一组常量来将实践状况下的滤波器带宽转化为等效的砖墙式滤波器带宽，以满意噪声核算的需求。图 2.9 将理论砖墙式滤波器与一阶、二阶及三阶滤波器进行了比照。
图 2.8：带滤波器的宽带区
图 2.9：砖墙式滤波器与实践滤波器相比较
咱们可用方程式 2.2 用于转化实践滤波器或做砖墙式滤波器等效。表 2.1 列出了各阶滤波器的换算系数 （Kn）。举例来说，一阶滤波器带宽乘以 1.57 即为砖墙式滤波器带宽。调节后的带宽有时也称作噪声带宽。请注意，换算系数跟着滤波器阶数的提高将越来越接近于1。换言之，滤波器阶数越高，就越接近于砖墙式滤波器。
已然咱们有了将实践滤波器转化为砖墙式滤波器的算式，那么咱们就能很便利地进行功率频谱的积分运算了。请记住，功率的积分运算为电压频谱的平方。咱们需将积分成果进行平方根运算转化回电压。方程式 2.3 即由此得出（见附录 2.1）。因而，依据产品阐明书中的数据套用方程式 2.2 、方程式 2.3便可核算出宽带噪声。
方程式 2.3：宽带噪声方程式
咱们需记住，咱们的方针是测定图 2.3 中噪声源 Vn 的起伏。该噪声源包含宽带噪声与 1/f 噪声。咱们用方程式 2.2 与 2.3 可核算出宽带噪声。现在咱们应核算 1/f 噪声，这就需求对噪声频率密度图 1/f 区域的功率频谱进行积分核算（如图 2.10所示）。咱们可用方程式 2.4 和 2.5 取得有关积分成果。方程式 2.4 将 1/f 区的噪声丈量成果归一化为 1Hz 时的噪声。某些状况下，咱们可从图中直接读出该数值，有时用方程式更便利求得（见图 2.11）。方程式2.5用归一化噪声、上部噪声带宽与下部噪声带宽来核算 1/f 噪声。附录 2.2 给出了整个演算进程。
图 2.10：1/f 区域
方程式 2.4：频率为 1Hz 时的噪声 （归一化）
图 2.11：两个 1/f 归一化示例
方程式 2.5：1/f 噪声核算
在考虑 1/f 噪声时，咱们有必要挑选低频截止点。这是因为 1/f 函数分母为零时无意义（即 1/0 无意义）。事实上，理论上 0 赫兹时噪声趋近于无量。但咱们应当考虑到，频率极低时，其相应的时刻也十分长。举例来说，0.1Hz 对应于 10 秒，而 0.001Hz则对应于 1000 秒。对极低的频率而言，对应的时刻有可能为数年（如 10nHz 对应于 3 年）。频率距离越大，积分核算所得的噪声就越大。不过咱们也要记住，极低频噪声检测需求很长时刻。咱们在今后的文章中将更具体地评论此问题。现在，咱们暂时记住这一点，1/f 核算时一般用 0.1Hz 作为低频截止点。
已然咱们已得到了宽带与 1/f 噪声的起伏，现在就用榜首部分给出的无相关噪声源算式来叠加噪声源 （见如下方程式 2.6 与本系列文章的榜首部分中的方程式 1.8）。
方程式 2.6： 1/f 与宽带噪声叠加成果
工程师考虑剖析办法时一般会忧虑，1/f 噪声与宽带噪声是否应在两个不同的区域进行积分核算。换言之，他们以为，因为 1/f 噪声与宽带噪声相加后会超出 1/f 区域，然后呈现过错。实践上，1/f 区域与宽带区域相同，都包括一切频率。咱们有必要记住，当噪声频谱显现在对数图上，1/f 区在降至宽带曲线以下后影响极小。两条曲线结合显着的仅有区域就在 1/f 半功率频点处。在此区域中，咱们看到两区域结合部的状况与数学模型相同。图 2.12 显现了两区实践堆叠的状况，并给出了相应的起伏。
图 2.12：1/f 噪声区与宽带区堆叠
现在，咱们已得到了将噪声频谱密度曲线转化为噪声源所需的悉数方程式。请注意，现在咱们已核算出了电压噪声所需的方程式，不过相同的办法也可运用于电流噪声的核算。在本系列随后的文章中，咱们将评论用有关方程式来处理运算放大器电流的噪声剖析问题。
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