傅立叶改换、拉普拉斯改换、Z改换的联络?他们的实质和差异是什么?为什么要进行这些改换。研讨的都是什么?从几方面评论下。
这三种改换都十分重要!任何理工学科都不可避免需求这些改换。
傅立叶改换，拉普拉斯改换，Z改换的含义
【傅里叶改换】在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等范畴都有着广泛的使用(例如在信号处理中，傅里叶改换的典型用处是将信号分化成幅值重量和频率重量)。
傅里叶改换能将满意必定条件的某个函数表明成三角函数(正弦和/或余弦函数)或许它们的积分的线性组合。在不同的研讨范畴，傅里叶改换具有多种不同的变体方式，如接连傅里叶改换和离散傅里叶改换。
傅里叶改换是一种处理问题的办法，一种东西，一种看待问题的视点。了解的关键是：一个接连的信号可以看作是一个个小信号的叠加，从时域叠加与从频域叠加都可以组成本来的信号，将信号这么分化后有助于处理。
咱们本来对一个信号其实是从时刻的视点去了解的，不知不觉中，其实是依照时刻把信号进行切割，每一部分仅仅一个时刻点对应一个信号值，一个信号是一组这样 的重量的叠加。傅里叶改换后，其实仍是个叠加问题，只不过是从频率的视点去叠加，只不过每个小信号是一个时刻域上掩盖整个区间的信号，但他确有固定的周 期，或许说，给了一个周期，咱们就能画出一个整个区间上的分信号，那么给定一组周期值(或频率值)，咱们就可以画出其对应的曲线，就像给出时域上每一点的 信号值相同，不过假如信号是周期的话 ，频域的更简略，只需求几个乃至一个就可以了，时域则需求整个时刻轴上每一点都映射出一个函数值。
傅里叶改换便是将一个信号的时域表明方式映射到一个频域表明方式;逆傅里叶改换恰好相反。这都是一个信号的不同表明方式。它的公式会用就可以，当然把证明看懂了更好。
对一个信号做傅里叶改换，可以得到其频域特性，包含起伏和相位两个方面。起伏是表明这个频率重量的巨细，那么相位呢，它有什么物理含义?频域的相位与时域的相位有联系吗?信号前一段的相位(频域)与后一段的相位的改变是否与信号的频率成正比联系。
傅里叶改换便是把一个信号，分化成很多的正弦波(或许余弦波)信号。也便是说，用很多的正弦波选用传递函数替代微分方程来描绘体系的特性。这就为选用直观和简洁的图解办法来确认操控体系的整个特性(见信号流程 图、动态结构图)、剖析操控体系的运动进程(见奈奎斯特安稳判据、根轨道法)，以及归纳操控体系的校对设备(见操控体系校对办法)供给了或许性。
【拉普拉斯改换】工程数学中常用的一种积分改换。它是为简化核算而树立的实变量函数和复变量函数间的一种函数改换。对一个实变量函数作拉普拉斯改换，并在复数域中作各种运算，再将运算成果作拉普拉斯反改换来求得实数域中的相应成果，往往比直接在实数域中求出相同的成果在核算上简单得多。拉普拉斯改换的这种运算进程关于求解线性微分方程尤为有用，它可把微分方程化为简单求解的代数方程来处理，从而使核算简化。在经典操控理论中，对操控体系的剖析和归纳，都是树立在拉普拉斯改换的基础上的。
拉普拉斯改换在工程学上的使用：使用拉普拉斯改换解常变量齐次微分方程，可以将微分方程化为代数方程，使问题得以处理。在工程学上，拉普拉斯改换的严重含义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域(s域)上来表明;在线性体系，操控自动化上都有广泛的使用。
【Z改换】在数字信号处理中，Z改换是一种十分重要的剖析东西。但在一般的使用中，咱们往往只需求剖析信号或体系的频率响应，也便是说一般只需求进行傅里叶改换即可。
那么，为什么还要引入Z改换呢?
【三者联系】
Z改换和傅里叶改换之间有存在什么样的联系呢?傅里叶改换的物理含义十分明晰：将一般在时域表明的信号，分化为多个正弦信号的叠加。每个正弦信号用起伏、 频率、相位就可以彻底表征。傅里叶改换之后的信号一般称为频谱，频谱包含起伏谱和相位谱，别离表明起伏随频率的散布及相位随频率的散布。在自然界，频率是 有清晰的物理含义的，比方说声响信号，男同胞声响消沉雄壮，这首要是由于男声中低频重量更多;女同胞多嘹亮洪亮，这首要是由于女声中高频重量更多。对一个 信号来说，就包含的信息量来讲，时域信号及其相应的傅里叶改换之后的信号是彻底相同的。那傅里叶改换有什么效果呢?由于有的信号首要在时域体现其特性，如 电容充放电的进程;而有的信号则首要在频域体现其特性，如机械的振荡，人类的语音等。若信号的特征首要在频域表明的话，则相应的时域信号看起来或许凌乱无 章，但在频域则解读十分便利。在实践中，当咱们收集到一段信号之后，在没有任何先验信息的情况下，直觉是企图在时域能发现一些特征，假如在时域无所发现的 话，很自然地将信号转换到频域再看看能有什么特征。信号的时域描绘与频域描绘，就像一枚硬币的双面，看起来尽管有所不同，但实践上都是同一个东西。正由于 如此，在一般的信号与体系的剖析进程中，咱们十分关怀傅里叶改换。
已然人们只关怀信号的频域表明，那么Z改换又是怎么回事呢?要提到Z改换，或许还要先追溯到拉普拉斯改换。
拉普拉斯改换是以法国数学家拉普拉斯命名的一种 改换办法，首要是针对接连信号的剖析。拉普拉斯和傅里叶都是同年代的人，他们所在的年代在法国是处于拿破仑年代，国力鼎盛。在科学上也替代英国成为其时世 界的中心，在其时很多的科学大师中，拉普拉斯、拉格朗日、傅里叶便是他们中心最为灿烂的三颗星。傅里叶关于信号可以分化为正弦信号叠加的论文，其评定人即 包含拉普拉斯和拉格朗日。
回到正题，傅里叶改换尽管好用，并且物理含义清晰，但有一个最大的问题是其存在的条件比较严苛，比方时域内肯定可积的信号才或许存在傅里叶改换。拉普拉斯 改换可以说是推行了这以概念。在自然界，指数信号exp(-x)是衰减最快的信号之一，对信号乘上指数信号之后，很简单满意肯定可积的条件。因而将原始信 号乘上指数信号之后一般都能满意傅里叶改换的条件，这种改换便是拉普拉斯改换。这种改换能将微分方程转化为代数方程，在18世纪核算机还远未创造的时分， 含义十分严重。从上面的剖析可以看出，傅里叶改换可以看做是拉普拉斯的一种特别方式，即所乘的指数信号为exp(0)。也便是说拉普拉斯改换是傅里叶改换 的推行，是一种更遍及的表达方式。在进行信号与体系的剖析进程中，可以先得到拉普拉斯改换这种更遍及的成果，然后再得到傅里叶改换这种特别的成果。这种由 遍及到特别的处理办法，现已证明在接连信号与体系的剖析中可以带来很大的便利。
Z改换可以说是针对离散信号和体系的拉普拉斯改换，由此咱们就很简单了解Z改换的重要性，也很简单了解Z改换和傅里叶改换之间的联系。Z改换中的Z平面与 拉普拉斯中的S平面存在映射的联系，z=exp(Ts)。在Z改换中，单位圆上的成果即对应离散时刻傅里叶改换的成果。
